Türev

Niels Bohr,

Yakın çevrenizde saygı duyduğunuz (ya da toplumun büyük bir kısmının saygı duyduğu) ya da saygı duymak zorunda olduğunuz birine karşı geldiğinizde hiç tedirginlik hissetmez misiniz? Patronunuza;

-Hayır patron! 6331 sayılı İş Sağlığı ve Güvenliği Kanunu gereği, işçi arkadaşlarımıza gerekli güvenlik ekipmanlarını sağlamaya mecbursunuz!

deyiverdiğimizde yüreğimiz hafiften kıpır kıpır olmaz mı? Bohr karşı gelmek bir yana çağımızın en büyük fizikçilerinden Einstein'a meydan okumuş, kurduğu barikatın ardında geri çekilmeksizin mücadele etmiştir.

"Tanrıya ne yapması gerektiğini söylemeyi bırak"

Limit, türev ve integral gibi kavramları (kimyager olarak tam da karayamadığımızdan olsa gerek) kağıt üzerinde gördüğümüzde biraz çekingen tavırlar sergileriz. Türev konusunu anlamak için Neandertal Academy topluluğunun "Türev nedir?" videosuna göz atmanızı tavsiye ederim. Kısaca türev bir fonksiyonda yapabileceğimiz en küçük değişimi ifade ediyor. Örnek vermek gerekirse, vaktiyle güzide gezegenimiz dünyanın benzetildiği küre şeklinin (ki metre biriminin belirlenmesinde şeklin küre olduğunun düşünülmesinden kaynaklanan hatayı araştırmanızı tavsiye ederim) hacmini inceleyelim.

\[ V={4 \over 3} \pi r^3\]

Kürenin hacmi yukarıdaki şekilde verilen formül ile hesaplanmaktadır. Bu kürenin yüzeyini çok (hatta çok çok çok) ince (meşhur dr kadar) bir boya katmanı ile kapladığımızı düşünelim. Kapladığımız dr kalınlığındaki plakayı küre yüzeyinden söktüğümüzde plakanın alanı kürenin alanına eşit olacaktır. Dolayısıyla küre hacminden küre alanına bu yolla geçebiliriz.

\[ (V_{kure})'=({4 \over 3} \pi r^3)'={4 \over 3} 3 r^2=4 \pi r^2= A_{kure}\]

Bohr Atom Modelinde bir elektronun toplam enerjisini (E_T) kinetik (E_K) ve potansiyel (E_P) enerjilerinin toplamı olarak ifade edebiliyoruz.

Bu noktada potansiyel ve kinetik enerjinin tanımlarına girmeden;

potansiyel enerji ise artı yük merkezi (çekirdek) ile elektronun Coulomb etkileşimlerinden kaynaklı olduğundan

toplam enerji basitçe ifade edilebilir. Şimdi bu yolla bir atomdaki herhangi bir elektronun iyonlaşma enerjisini hesaplayıp hesaplayamayacağımızı inceleyim. Elektronu sonsuz uzaklıktaki bir noktadan (örneğin hidrojen atomu için) birinci yörüngeye getirmeye çalıştığımız bir deneyi canlandıralım. Elektronu sonsuzdan 1. yörüngeye getirmek için yaptığımız iş bu süreç için gereken enerjinin belirlenmesini sağlayacaktır. Sonuçta bir elektronu 1. kabuktan sonsuza götürmek iyonlaşma enerjisine eşit olduğundan (ayrıca Bohr modeline göre de salınan ya da absorplanan enerji iki yörünge arasındaki enerji farkına eşittir) iyonlaşma enerjisini bu şekilde hesaplayabiliriz. Aşağıdaki şekilde gördüğümüz gibi elektronu dr uzunluğu kadar çekirdeğe yaklaştırdığımızda potansiyel enerjideki değişim olacaktır. Dolayısıyla elektronu sonsuzdan yörüngeye getirmek için yapacağımız iş, her bir d_r değişimi kadar değişen yarıçapa karşılık potansiyel enerji değişimini bularak bunları toplamaktır.

Dolayısıyla toplam enerji,

formülü ile hesaplanır. Formüldeki integral kısmı bildiğiniz gibi sonsuz ve r aralığında tüm potansiyel enerjinin toplamını verecektir. Bu fonksiyonun toplam değeri bulmak için matematiksel bir dönüşüm yapmamız yeterlidir, türev almak! Şöyle ki türevi integrale eşit olan fonksiyon bize incelediğimiz integralin toplam değerini verir.

Formülün son hali ile bir elektronun toplam enerjisini hesaplayabilirsiniz.